Adolf Mošinsky urodził się i został ochrzczony w parafialnym kościele w Donji Miholjec. Był synem Ignatiusa Mossinszky'ego prowizora w majątkach Valpovo i Donji Miholjac, posiadanych przez Gustava Prandaua i Marii Rohrer, pochodził ze strony ojca z polskiego rodu Nałęczów. Pierwotnie jego nazwisko rodziny brzmiało Moszyński, przodkowie Adolfa Mošinskiego przenieśli się do Chorwacji z Sandomierza pod koniec XVIII wieku. Ojciec Adolfa pełnił funkcję. Joannes Nepomuk Danhelovsky, ojciec znanego chorwackiego eksperta leśnictwa Adolfa Danhelovsky'ego, był jego ojcem chrzestnym.

Edukację średnią zakończył dyplomem Liceum Klasycznego w Zagrzebiu w 1864 roku, a następnie studiował prawo w Wiedniu i Budapeszcie. W 1888 roku rozpoczął karierę w miejskiej administracji, w 1892 roku został mianowanym Komisarzem Rządu, a następnie objął funkcję burmistrza Zagrzebia, sprawując urząd przez 12 lat - trzy kadencje.

Pod jego rządami miasto zyskało nowoczesny wodociąg i kanalizację, a potok Medveščak został przekształcony w podziemny kanał. Ludność Zagrzebia wzrosła o 30%, a miasto wzbogaciło się o ważne metropolitalne i atrakcyjne zabytki, w tym budynek Chorwackiego Teatru Narodowego, dzisiejsze Muzeum Mimar, Pawilon Sztuki oraz wiele innych. W okresie jego rządów zrealizowano także projekt Zielonej Podkowy, zbudowano drogę do Sljemena, uzdrowisko Brestovac na Medvednicy oraz górski ośrodek wypoczynkowy Adolfovac, nazwany tak na cześć Moszyńskiego.

Adolf Mošinsky był także pierwszym burmistrzem Zagrzebia, który nosił łańcuch honorowy, choć zaproponował, by koszt jego wykonania pokryć z nadzwyczajnej dotacji, a nie z budżetu miasta. Zmarł w 1907 roku. Na jego cześć nazwano ulicę i park. W Muzeum Miasta Zagrzebia zachował się jego portret autorstwa Celestina Medovicia (olej na płótnie, 1906). Na ulicy Varšavskiej, przy Szkole Podstawowej im. Josipa Juraja Strossmayera, powstał mural autorstwa kolektywu artystycznego Graffiti na Gradele. Dzieło to zostało stworzone z inicjatywy Ambasady RP. Wreszcie na cmentarzu w Zagrzebiu do niedawna istniał pomnik nagrobny upamiętniający rodzinę Moszyńskich, niestety w roku 2022 uległ on zniszczeniu.