Адольф Мошинський народився і був охрещений у парафіяльній церкві в Доні-Міхольці. Він був сином Ігнатія Мошинського, управителя маєтків Валпово і Доні-Міхоляц, що належали Густаву Прандау і Марії Рорер, і походив з польського роду Наленчів по батьковій лінії. Спочатку його прізвище було Мошинські, предки Адольфа Мошинського переїхали до Хорватії з Сандомира наприкінці 18 століття. Йоаннес Непомук Дангеловський, батько відомого хорватського експерта з лісового господарства Адольфа Дангеловського, був його хрещеним батьком.

Він закінчив середню освіту, отримавши диплом класичного ліцею в Загребі в 1864 році, а потім вивчав право у Відні та Будапешті. У 1888 році розпочав кар'єру в муніципальній адміністрації, у 1892 році був призначений урядовим комісаром, а потім став мером Загреба, перебуваючи на цій посаді 12 років - три терміни.

За його правління місто отримало сучасну систему водопостачання та каналізації, а потік Медвещак був перетворений на підземний канал. Населення Загреба збільшилося на 30%, а місто збагатилося важливими столичними та привабливими пам'ятками, серед яких будівля Хорватського національного театру, сучасний музей Мімара, Мистецький павільйон та багато інших. За його правління також було завершено проект "Зелена підкова", побудовано дорогу до Слємена, бальнеологічний курорт Брестовац на Медведниці та гірський курорт Адольфовац, названий на честь Мошинського.

Адольф Мошинський також був першим мером Загреба, який носив почесний ланцюг, хоча він запропонував, щоб витрати на його виготовлення покривалися за рахунок надзвичайного гранту, а не міського бюджету. Помер у 1907 році. На його честь названо вулицю та парк. Його портрет роботи Целестина Медовича (полотно, олія, 1906) зберігається в Загребському міському музеї. На вулиці Варшавській, поруч з початковою школою імені Йосипа Юрая Штроссмайєра, художній колектив Graffiti na Gradele створив мурал. Ця робота була створена за ініціативи Посольства Республіки Польща. Нарешті, на загребському кладовищі донедавна знаходився надгробний пам'ятник, присвячений родині Мошинських, але, на жаль, він був зруйнований у 2022 році.