W latach 1973-1978 studiował w Akademii Sztuk Pięknych w Warszawie. Dyplom zrobił w pracowni profesora Stefana Gierowskiego, aneks do dyplomu u profesor Haliny Chrostowskiej. Przez cztery lata był asystentem profesor Haliny Chrostowskiej na wydziale grafiki i linorytu w warszawskiej ASP. W 1978 r. otrzymał pierwszą nagrodę za linoryt na Międzynarodowym Triennale Grafiki w Krakowie. W 1979 r. wyróżniony został pierwszą nagrodą dla młodych artystów i trzecią nagrodą na Konkursie Graficznym Technik Druku Wypukłego imienia Józefa Gielniaka. W 1980 r. grafiki Pospieszyńskiego zdobyły dwukrotnie tytuł „Grafika Miesiąca” ZPAP w Warszawie. Artysta należał do Związku Polskich Artystów Plastyków w latach 1978-1981, w latach 1980-1981 był wiceprzewodniczącym sekcji grafiki ZPAP, oddział warszawski.

W 1987 r. wyemigrował do Kanady i zamieszkał w Toronto. Pracował jako niezależny grafik oraz zatrudniony w Peel District School Board, przez pięć lat uczył plastyki w szkołach. W 1992 r. rysunek artysty nagrodzony został na 31st Annual Toronto Outdoor Art Exhibition, w 1993 r. prace artysty zdobyły nagrodę Best Drawing Award na 2 Indoor Art Exhibition i na 32 Annual Toronto Outdoor Art Exhibition. W latach 1996-2001 kierował Galerią Sztuki Współczesnej PEKAO, która pod jego artystycznym kierownictwem stała się ważną platformą profesjonalnej prezentacji artystów polskich i kanadyjskich. Tutaj miały miejsce ważne wystawy polskich artystów: Kazimierza Głaza, Jerzego Kołacza, Tamary Jaworskiej, Andrzeja Pawłowskiego, Kingi Araji.

W 2001 r. artysta przygotował w Galerii PEKAO swoją wystawę indywidualną „The Quest for Metaphysical Link”, która zarazem zakończyła działalność galerii. Osiągnięty sukces i zdobyte doświadczenie w prowadzeniu Galerii PEKAO pozwoliły Pospieszyńskiemu założyć własną galerię: w latach 2001-2013 artysta był dyrektorem i kuratorem Peak Gallery. Profilem Peak Gallery była prezentacja młodych awangardowych artystów kanadyjskich i międzynarodowych. Galeria zyskała uznanie w świecie sztuki współczesnej umacniając pozycję Pospieszyńskiego jako cenionego znawcy sztuki awangardowej i kuratora. Dwa razy galeria brała udział ARCO - Art Fair w Madrycie, jak również w Photo Miami w 2007 r. oraz w Art Fair MACO w Mexico City.

Od 2017 r. artysta jest dyrektorem artystycznym Matter Gallery nastawionej na współczesną sztukę z Afryki, Azji, Bliskiego Wschodu i Ameryki Południowej. Artysta oprócz promowania sztuki innych twórców, kontynuuje swoją twórczość w dziedzinie rysunku ołówkiem. Surrealistyczne rysunki opowiadają egzystencjalne historie stworzone z różnych płaszczyzn, wynikających z siebie treści o narracji szufladkowej, w której temat kondycji człowieka, przemijalności życia, bliskości życia i śmierci odgrywa główną rolę.

W 1995 r. rzeźby Andrzeja Pawłowskiego z rysunkami Zacka Pospieszyńskiego i muzyką Peter Paul Koprowskiego złożyły się na wystawę „Calling Dante” pokazaną w Italian Culture Institute, przeniesioną w 1996 r. do Krzysztoforów w Krakowie i do Warszawy. W 1997 r. artysta wziął udział w wystawie „Eternal Wandering - Year 2000” w Blackwood Gallery w Mississauga. W 1998 r. „Drawings and Objects” były indywidualną wystawą prac artysty w MEG Gallery w Toronto.

W latach 1993-1996 artysta należał do Ontario Society of Artists i był w zarządzie stowarzyszenia. W dowód uznania na polu promowania sztuki współczesnej artysta otrzymał wielokrotnie dofinansowanie z Canada Council na realizację projektów. Prace Zacka Pospieszyńskiego nagrodzono w Kanadzie: Juror’s Choice Award -The Consilium Art Show w Scarborough w 1992 r.; Honorable Mention - 31st Annual Toronto Outdoor Art Exhibition w 1992 r.; Merit CAPIC - National Show, Toronto w 1993 r.; Best Drawing Award - 2nd Indoor Art Exhibition, Toronto w 1993 r.; Award of Merit - 120th Annual Open Juried Show Image 94 OSA, Toronto; First Price in Sculpture - 17th Annual Juried Show of Fine Art - Art Gallery Mississauga w 1994 r.

Zbigniew Zack Pospieszyński jest kuratorem realizującym wystawy w myśl szacunku dla sztuki, widza i artysty. W lutym 2019 r. Matter Gallery wzięła udział w targach sztuki w Afryce Południowej, gdzie sukces odniósł reprezentowany przez galerię rzeźbiarz z Johannesburga. Obecnie nowym medium artysty jest fotografia portretowa, co wiąże się z faktem, że człowiek jest zawsze w centrum jego zainteresowań.

Wybrane wystawy: Xylon 8, International Triennal Exhibition of Wood Engraving, Szwajcaria, 1978; IX Wystawa Grafiki, Zachęta, 1981; Modern Polish Graphic, Gulbenkian Foundation, Lizbona, 1981; 33me Salon de la Jeune Expression, Grand Palais, Paryż, 1982/83; Metamorphosis - Solo exhibition, Nassjo, Szwecja, 1986; The River, Kariya Art Museum, Japonia, 1994; Drawings - Solo exhibition, Artview Gallery, Hamilton, Kanada, 1994.

Praca w katalogu
Zbigniew Pospieszyński, „The Debate Philosopher vs Lucifer”, 1992, rysunek, grafit HB, H2, H6. Praca jest charakterystyczną dla Zbigniewa Pospieszyńskiego surrealistyczną opowieścią egzystencjalną budowaną z wielu płaszczyzn. Elementem tworzącym formy na rysunku są ludzkie czaszki, przerażone twarze, fragmenty roślinne, układające się w dwa profile tytułowych lokutorów oraz dziwne formy drzew.